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同构定理
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
同构定理
接下来我们要证明如下几个同构定理 定理（线性映射同构定理） 设
φ
：
V
→
V
′
\varphi：V\to V'
φ：V→V′ 是一个线性映射，则存在一个自然的线性同构
V
/
ker
φ
≅
Im
φ
V/\ker \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi
V/kerφ≅Imφ 定理（群同态基本定理） 设
σ
:
G
→
G
′
\sigma:G\to G'
σ:G→G′ 是一个群同态，则存在一个自然的群同构
G
/
ker
σ
≅
Im
σ
G/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma
G/kerσ≅Imσ 定理（环同态基本定理） 设
σ
:
R
→
R
′
\sigma:R\to R'
σ:R→R′ 是一个环同态，则存在一个自然的环同构
R
/
ker
σ
≅
Im
σ
R/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma
R/kerσ≅Imσ 定理（模同态基本定理） 设
σ
:
M
→
M
′
\sigma:M\to M'
σ:M→M′ 是一个模同态，则存在一个自然的模同构
M
/
ker
σ
≅
Im
σ
M/\ker \sigma \cong \operatorname{Im} \sigma
M/kerσ≅Imσ
这些定理涉及到的概念可以简述如下，首先是关于各类代数结构的概念
群（group）：一个定义了加法的集合，具有结合律，单位元，逆元环（ring）：一个定义了加法和乘法的集合，关于加法是一个群，关于乘法具有结合律和单位元，乘法对加法还有左、右分配律线性空间（linear space or vector space）：一个定义了数乘的abel群（即具有交换律的群），数乘定义为从数域和线性空间的笛卡尔积映到该线性空间的映射，其具有结合律，单位元，对加法有左、右分配律模（module）：一个定义了数乘的abel群，数乘定义为从交换环和模的笛卡尔积映到该模的映射，具有结合律、单位元，对加法有左、右分配律
对于四种不同的代数结构，我们总可以定义一类特殊的子集，其继承了父集的代数结构
子群：群的子集，具有加法单位元，关于加法封闭子环：环的子集，具有加法和乘法单位元，关于加法和乘法封闭子空间：线性空间的子集，具有加法单位元，关于加法和数乘封闭子模：模的子集，具有加法单位元，关于加法和数乘封闭
然后是这些代数结构上的特殊映射的概念
群同态：从一个群到另一个群的映射，保持两个群上的加法环同态：从一个环到另一个环的映射，保持两个环上的加法和乘法线性映射：从一个线性空间到另一个线性空间的映射，保持两个线性空间上的加法和数乘模同态：从一个模到另一个模的映射，保持两个模上的加法和数乘
额外地，若这些映射还为双射，则改称“同态（homomorphism）”为“同构（isomorphism）”，例如：群同构，环同构，线性同构，模同构；此时我们也称同构映射的定义域和值域是同构的；
映射的核（kernal）与像（image）
定义域中被映射映为零的元素构成的集合称为映射的核映射所有可能的取值构成的集合称为映射的像
接下来是商集的概念，
等价关系（equivalence relation）：我们称满足自反性，对称性，传递性的关系为一个等价关系，如果集合中的两个元素适合这个等价关系，我们称这两个元素等价等价类（equivalence class）：在一个等价关系下，集合可被分类，有些元素之间等价，有些不等价，把所有等价的元素分为一类，称为一个等价类；通常记元素
x
x
x 所在的等价类为
[
x
]
[x]
[x]划分（partition）：在一个等价关系下，对集合的任意两个元素，它们所在的等价类要么一样，要么完全不相交，我们称所有等价类是这个集合的一个划分商集（quotient set）：在一个等价关系下，集合的所有等价类构成的新集合称为商集自然映射：从集合到它的商集，把集合的元素映为其所在的等价类的映射，称为自然映射
对四种不同的代数结构，我们定义类似陪集的概念如下，由于群没有加法交换律，所以要分左右两种情形；由于环未必有乘法逆元，所以要定义一个稍弱于子环的结构 定义：陪集和商空间 设线性空间
V
V
V 和其子空间
V
0
V_0
V0 ，对任意的
v
∈
V
v\in V
v∈V，集合
v
+
V
0
≜
{
v
+
v
0
∣
v
0
∈
V
0
}
v+V_0\triangleq \{v+v_0|v_0\in V_0\}
v+V0≜{v+v0∣v0∈V0} 称为
v
v
v 的
V
0
V_0
V0-陪集， ”
V
V
V 的任意两个元素的
V
0
V_0
V0-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个
V
0
V_0
V0-陪集要么相等，要么不交；定义所有
V
0
V_0
V0 陪集构成的商集为
V
V
V 的商空间，记为
V
/
V
0
V/V_0
V/V0 ，其关于如下的加法和数乘成为一个线性空间
(
v
1
+
V
0
)
+
(
v
2
+
V
0
)
≜
(
v
1
+
v
2
)
+
V
0
,
(v_1+V_0)+(v_2+V_0)\triangleq (v_1+v_2)+V_0,
(v1+V0)+(v2+V0)≜(v1+v2)+V0,
k
⋅
(
v
1
+
V
0
)
≜
k
⋅
v
1
+
V
0
k\cdot(v_1+V_0)\triangleq k\cdot v_1+V_0
k⋅(v1+V0)≜k⋅v1+V0 定义：左、右陪集，正规子群，商空间 设群
G
G
G 和其子群
G
0
G_0
G0 ，对任意的
a
∈
G
a\in G
a∈G，集合
a
+
G
0
≜
{
a
+
g
0
∣
g
0
∈
G
0
}
a+G_0\triangleq\{a+g_0|g_0\in G_0\}
a+G0≜{a+g0∣g0∈G0}
称为
a
a
a 的
G
0
G_0
G0 左陪集，集合
G
0
+
a
≜
{
g
0
+
a
∣
g
0
∈
G
0
}
G_0+a\triangleq \{g_0+a|g_0\in G_0\}
G0+a≜{g0+a∣g0∈G0}
称为
a
a
a 的
G
0
G_0
G0 右陪集；若对任意
a
∈
G
a\in G
a∈G，有
a
+
G
0
=
G
0
+
a
a+G_0=G_0+a
a+G0=G0+a
则称
G
0
G_0
G0 为
G
G
G 的正规子群；现假设
G
0
G_0
G0 是正规子群，那么 ”
G
G
G 的任意两个元素的
G
0
G_0
G0-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个
G
0
G_0
G0-陪集要么相等，要么不交；定义所有
G
0
G_0
G0 陪集构成的商集为
G
G
G 的商群，记为
G
/
G
0
G/G_0
G/G0 ，其关于如下的加法成为一个群
(
a
+
G
0
)
+
(
b
+
G
0
)
≜
(
a
+
b
)
+
G
0
(a+G_0)+(b+G_0)\triangleq (a+b)+G_0
(a+G0)+(b+G0)≜(a+b)+G0
定义：理想，陪集，商环 设环
R
R
R 和其子集
I
I
I，若
I
I
I 关于加法是
R
R
R 的子群，关于乘法有左、右吸收性，则称
I
I
I 是
R
R
R 的一个理想（ideal）；对任意的
r
∈
R
r\in R
r∈R，集合
r
+
I
≜
{
r
+
a
∣
a
∈
I
}
r+ I\triangleq\{r+a|a\in I\}
r+I≜{r+a∣a∈I}
称为
a
a
a 的
I
I
I 陪集； ”
R
R
R 的任意两个元素的
I
I
I-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个
I
I
I-陪集要么相等，要么不交；定义所有
I
I
I 陪集构成的商集为
V
V
V 的商环，记为
R
/
I
R/I
R/I ，其关于如下的加法和乘法成为一个环
(
r
1
+
I
)
+
(
r
2
+
I
)
≜
(
r
1
+
r
2
)
+
I
(r_1+I)+(r_2+I)\triangleq(r_1+r_2)+I
(r1+I)+(r2+I)≜(r1+r2)+I
(
r
1
+
I
)
(
r
2
+
I
)
≜
r
1
r
2
+
I
(r_1+I)(r_2+I)\triangleq r_1r_2+I
(r1+I)(r2+I)≜r1r2+I
定义：陪集，商模 设模
M
M
M 和其子模
M
0
M_0
M0 ，对任意的
m
∈
M
m\in M
m∈M，集合
m
+
M
0
≜
{
m
+
M
0
∣
m
0
∈
M
0
}
m+M_0\triangleq \{m+M_0|m_0\in M_0\}
m+M0≜{m+M0∣m0∈M0} 称为
m
m
m 的
M
0
M_0
M0-陪集， ”
M
M
M 的任意两个元素的
M
0
M_0
M0-陪集是否相等“构成一个等价关系，两个
M
0
M_0
M0-陪集要么相等，要么不交；定义所有
M
0
M_0
M0 陪集构成的商集为
M
M
M 的商模，记为
M
/
M
0
M/M_0
M/M0 ，其关于如下的加法和数乘成为一个模
(
m
1
+
M
0
)
+
(
m
2
+
M
0
)
≜
(
m
1
+
m
2
)
+
M
0
(m_1+M_0)+(m_2+M_0)\triangleq(m_1+m_2)+M_0
(m1+M0)+(m2+M0)≜(m1+m2)+M0
a
(
m
+
M
0
)
≜
a
m
+
M
0
a(m+M_0)\triangleq am+M_0
a(m+M0)≜am+M0
为证明同构定理，先要预备几个结论，按定义容易证明如下命题
命题1：自然映射是满射
命题2：映射的核是定义域的子群（理想、子空间、子模）
命题3：设映射
f
∘
g
=
h
f\circ g=h
f∘g=h，若
g
,
h
g,h
g,h 均为满射，则
f
f
f 一定也为满射
下面叙述这四个定理的证明，证明思路大体类似，先构造目标映射，然后证明它是满射，再证明它是单射，最后证明它是同态
群同态基本定理的证明 设自然映射
N
:
G
→
G
/
ker
σ
,
a
↦
a
+
ker
σ
N:G\to G/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma
N:G→G/kerσ,a↦a+kerσ
定义映射
ψ
:
G
/
ker
σ
→
Im
σ
,
ψ
(
N
a
)
=
σ
(
a
)
\psi:G/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a)
ψ:G/kerσ→Imσ,ψ(Na)=σ(a) 注意到
σ
:
G
→
Im
σ
,
N
\sigma:G\to \operatorname{Im}{\sigma},N
σ:G→Imσ,N 均为满射，由命题3得到
ψ
\psi
ψ 也是满射
若
σ
(
a
)
=
0
\sigma(a)=0
σ(a)=0，则
a
∈
ker
σ
a\in\ker\sigma
a∈kerσ ，从而
N
(
a
)
=
0
N(a)=0
N(a)=0，
ψ
(
N
a
)
=
ψ
(
0
)
=
0
\psi(Na)=\psi(0)=0
ψ(Na)=ψ(0)=0 ，即
ψ
\psi
ψ 是单射
又
ψ
\psi
ψ 是群同态
ψ
(
N
a
1
+
N
a
2
)
=
ψ
(
N
(
a
1
+
a
2
)
)
=
σ
(
a
1
+
a
2
)
=
σ
(
a
1
)
+
σ
(
a
2
)
=
ψ
(
N
a
1
)
+
ψ
(
N
a
2
)
\psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2)
ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)
故
ψ
\psi
ψ 是群同构
环同态基本定理的证明 设自然映射
N
:
R
→
R
/
ker
σ
,
a
↦
a
+
ker
σ
N:R\to R/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma
N:R→R/kerσ,a↦a+kerσ
定义映射
ψ
:
R
/
ker
σ
→
Im
σ
,
ψ
(
N
a
)
=
σ
(
a
)
\psi:R/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a)
ψ:R/kerσ→Imσ,ψ(Na)=σ(a) 注意到
σ
:
R
→
Im
σ
,
N
\sigma:R\to \operatorname{Im}{\sigma},N
σ:R→Imσ,N 均为满射，由命题3得到
ψ
\psi
ψ 也是满射
若
σ
(
a
)
=
0
\sigma(a)=0
σ(a)=0，则
a
∈
ker
σ
a\in\ker\sigma
a∈kerσ ，从而
N
(
a
)
=
0
N(a)=0
N(a)=0，
ψ
(
N
a
)
=
ψ
(
0
)
=
0
\psi(Na)=\psi(0)=0
ψ(Na)=ψ(0)=0 ，即
ψ
\psi
ψ 是单射
又
ψ
\psi
ψ 是环同态
ψ
(
N
a
1
+
N
a
2
)
=
ψ
(
N
(
a
1
+
a
2
)
)
=
σ
(
a
1
+
a
2
)
=
σ
(
a
1
)
+
σ
(
a
2
)
=
ψ
(
N
a
1
)
+
ψ
(
N
a
2
)
\psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2)
ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)
ψ
(
N
a
1
N
a
2
)
=
ψ
(
N
(
a
1
a
2
)
)
=
σ
(
a
1
a
2
)
=
σ
(
a
1
)
σ
(
a
2
)
=
ψ
(
N
a
1
)
ψ
(
N
a
2
)
\psi(Na_1Na_2)=\psi(N(a_1a_2))=\sigma(a_1a_2)=\sigma(a_1)\sigma(a_2)=\psi(Na_1)\psi(Na_2)
ψ(Na1Na2)=ψ(N(a1a2))=σ(a1a2)=σ(a1)σ(a2)=ψ(Na1)ψ(Na2)
故
ψ
\psi
ψ 是环同构
模同态基本定理的证明 设自然映射
N
:
M
→
M
/
ker
σ
,
a
↦
a
+
ker
σ
N:M\to M/\ker \sigma,a\mapsto a+\ker\sigma
N:M→M/kerσ,a↦a+kerσ
定义映射
ψ
:
M
/
ker
σ
→
Im
σ
,
ψ
(
N
a
)
=
σ
(
a
)
\psi:M/\ker\sigma\to\operatorname{Im}{\sigma},\psi(Na)=\sigma(a)
ψ:M/kerσ→Imσ,ψ(Na)=σ(a) 注意到
σ
:
M
→
Im
σ
,
N
\sigma:M\to \operatorname{Im}{\sigma},N
σ:M→Imσ,N 均为满射，由命题3得到
ψ
\psi
ψ 也是满射
若
σ
(
a
)
=
0
\sigma(a)=0
σ(a)=0，则
a
∈
ker
σ
a\in\ker\sigma
a∈kerσ ，从而
N
(
a
)
=
0
N(a)=0
N(a)=0，
ψ
(
N
a
)
=
ψ
(
0
)
=
0
\psi(Na)=\psi(0)=0
ψ(Na)=ψ(0)=0 ，即
ψ
\psi
ψ 是单射
又
ψ
\psi
ψ 是模同态
ψ
(
N
a
1
+
N
a
2
)
=
ψ
(
N
(
a
1
+
a
2
)
)
=
σ
(
a
1
+
a
2
)
=
σ
(
a
1
)
+
σ
(
a
2
)
=
ψ
(
N
a
1
)
+
ψ
(
N
a
2
)
\psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\sigma(a_1+a_2)=\sigma(a_1)+\sigma(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2)
ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=σ(a1+a2)=σ(a1)+σ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)
ψ
(
k
N
a
)
=
ψ
(
N
(
k
a
)
)
=
σ
(
k
a
)
=
k
σ
(
a
)
=
k
ψ
(
N
a
)
\psi(kNa)=\psi(N(ka))=\sigma(ka)=k\sigma(a)=k\psi(Na)
ψ(kNa)=ψ(N(ka))=σ(ka)=kσ(a)=kψ(Na)
故
ψ
\psi
ψ 是模同构
线性映射同构定理的证明 设自然映射
N
:
V
→
V
/
ker
φ
,
a
↦
a
+
ker
φ
N:V\to V/\ker \varphi,a\mapsto a+\ker\varphi
N:V→V/kerφ,a↦a+kerφ
定义映射
ψ
:
V
/
ker
v
a
r
p
h
i
→
Im
φ
,
ψ
(
N
a
)
=
φ
(
a
)
\psi:V/\ker\\varphi\to\operatorname{Im}{\varphi},\psi(Na)=\varphi(a)
ψ:V/kervarphi→Imφ,ψ(Na)=φ(a) 注意到
φ
:
V
→
Im
φ
,
N
\varphi:V\to \operatorname{Im}{\varphi},N
φ:V→Imφ,N 均为满射，由命题3得到
ψ
\psi
ψ 也是满射
若
φ
(
a
)
=
0
\varphi(a)=0
φ(a)=0，则
a
∈
ker
φ
a\in\ker\varphi
a∈kerφ ，从而
N
(
a
)
=
0
N(a)=0
N(a)=0，
ψ
(
N
a
)
=
ψ
(
0
)
=
0
\psi(Na)=\psi(0)=0
ψ(Na)=ψ(0)=0 ，即
ψ
\psi
ψ 是单射
又
ψ
\psi
ψ 是线性映射
ψ
(
N
a
1
+
N
a
2
)
=
ψ
(
N
(
a
1
+
a
2
)
)
=
φ
(
a
1
+
a
2
)
=
φ
(
a
1
)
+
φ
(
a
2
)
=
ψ
(
N
a
1
)
+
ψ
(
N
a
2
)
\psi(Na_1+Na_2)=\psi(N(a_1+a_2))=\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)=\psi(Na_1)+\psi(Na_2)
ψ(Na1+Na2)=ψ(N(a1+a2))=φ(a1+a2)=φ(a1)+φ(a2)=ψ(Na1)+ψ(Na2)
ψ
(
k
N
a
)
=
ψ
(
N
(
k
a
)
)
=
φ
(
k
a
)
=
k
φ
(
a
)
=
k
ψ
(
N
a
)
\psi(kNa)=\psi(N(ka))=\varphi(ka)=k\varphi(a)=k\psi(Na)
ψ(kNa)=ψ(N(ka))=φ(ka)=kφ(a)=kψ(Na)
故
ψ
\psi
ψ 是线性同构
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著